카드 카운팅(확률 계산)과 켈리 공색(자본 배분)을 투자에 적용한다면

카드 카운팅(확률 계산)과 **켈리 공식(자본 배분)**은 포커나 블랙잭 같은 게임에서 유래했지만, 투자 결정에도 강력한 수학적 틀을 제공할 수 있습니다. 핵심은 기대 수익률을 파악하고, 그에 따라 자본을 '얼마나' 걸지 결정하는 것입니다.

---

🎲 카드 카운팅 (확률 계산)의 투자 적용

블랙잭의 카드 카운팅처럼, 투자에서는 현재 시장 상황을 분석하여 **'유리한 국면'**이 왔는지를 판단하는 데 확률 개념을 적용합니다.

1. 엣지 (Edge) 파악

• 포커/블랙잭: 덱에 높은 카드가 남아있어 플레이어의 **승률(p)**이 50%를 넘어가는 상황을 '엣지'라고 합니다.
• 투자 적용: 특정 자산(주식, 코인 등)이나 시장 상황에서 **'기대 수익률'(E)**이 **위험 조정 수익률(Rf, 무위험 이자율 등)**을 유의미하게 초과할 때 엣지가 있다고 판단합니다. 이는 철저한 데이터 분석, 가치 평가, 시장 통계를 통해 이루어집니다.

2. 확률 요소의 측정

• 성공 확률 (p): 투자가 성공(예: 주가가 오름)할 확률.
• 실패 확률 (q): 투자가 실패(예: 주가가 내림)할 확률. (q = 1-p)
• 성공 시 배당률 (b): 성공 시 얻을 것으로 예상되는 순수익률. (예: 10% 상승 시 b=0.1$)
• 실패 시 손실률 (a): 실패 시 손해 볼 것으로 예상되는 손실률. (예: 5% 하락 시 a=-0.05$)

이러한 요소들을 정량화함으로써, 단순한 직감이 아닌 수학적 기대값에 기반하여 투자의 유리함을 판단할 수 있습니다.

---

📈 켈리 공식 (Kelly Criterion)의 투자 적용

켈리 공식은 기대치가 양수일 때 (즉, 엣지가 있을 때) **자본의 몇 퍼센트($f$)**를 베팅해야 장기적으로 자산을 가장 빠르게 증식시킬 수 있는지를 알려주는 공식입니다. 이는 최적의 자본 배분 전략을 제시합니다.

1. 켈리 공식

성공 시 배당률과 손실률이 동일할 때 (b=|a|), 공식은 다음과 같습니다.

f = p - q

일반적인 형태 (성공 시 배당률 b와 손실률 a가 다를 때)는 다음과 같습니다.

f = (bp - q) / b

• f: 총 자본 대비 베팅해야 할 비율 (Fraction)
• p: 승리 확률 (성공 확률)
• q: 패배 확률 (실패 확률)
• b: 승리 시 얻는 순수익률 (배당률)

2. 투자 적용의 의의

켈리 공식이 제시하는 비율 $f$는 단순히 베팅 금액이 아니라 총 투자 가능 자본 대비 해당 포지션에 할당해야 할 비중을 의미합니다.

• 자산 증식 최대화: f만큼 투자하면 장기적으로 자산의 로그 기대값을 최대화하여, 복리 효과를 가장 빠르게 얻을 수 있습니다.
• 파산 위험 관리: 공식적으로는 f > 0일 때만 베팅을 하도록 권장하며, f를 따를 경우 파산 확률이 이론적으로 가장 낮아집니다.

3. 실전적 문제와 활용 (부분 켈리)

실제 투자에서는 정확한 p와 b를 알기 어렵고, 변동성이 크기 때문에 완전한 켈리 공식을 그대로 적용하는 것은 매우 위험할 수 있습니다.

문제점	해결 방안
p와 b의 부정확성	부분 켈리 (Fractional Kelly): 계산된 f의 1/2 또는 1/3만 투자합니다. 이는 계산상의 오류나 예측 불가능한 변수에 대한 안전장치입니다.
자본의 큰 변동성	투자 포지션 규모가 매우 커져 감당하기 어려울 정도의 변동성에 노출될 수 있습니다.

요약하자면, **카드 카운팅(확률 계산)**을 통해 투자에서 **'기대 수익이 있는가'**를 판단하고, **켈리 공식(자본 배분)**을 통해 그 기회에 **'얼마나 투자해야 가장 효율적인가'**를 결정하는 프레임워크를 제공합니다. 그러나 실제 투자에서는 예측의 불확실성 때문에 부분 켈리를 사용하는 것이 일반적입니다.

[예시]

켈리 공식은 간단히 말해 **"승산이 있을 때, 자산의 몇 퍼센트를 걸어야 가장 빠르게 돈을 불릴 수 있는가?"**에 대한 답을 줍니다.

---

🎯 켈리 공식 예시: 동전 던지기 게임

친구가 다음과 같은 규칙으로 동전 던지기 게임을 제안했다고 가정해 봅시다. 당신의 초기 자본은 10만 원입니다.

1. 기대 수익률 파악 (Edge 찾기)

구분	확률 (p 또는 q)	승패 시 자산 변화
앞면 (승리)	p = 60% (0.6)	베팅 금액의 1배를 획득 (예: 1,000원 걸고 1,000원 땀)
뒷면 (패배)	q = 40% (0.4)	베팅 금액의 1배를 잃음 (예: 1,000원 걸고 1,000원 잃음)

이 게임은 승률이 60%로 50%를 넘기 때문에 당신에게 유리한 엣지가 있습니다. (기대 수익이 양수입니다.)

2. 켈리 공식 적용

여기서 성공 시 배당률과 손실률의 절대값이 같으므로 (b=1), 간편한 공식을 사용합니다.

f =  p-q

• p = 0.6
• q = 0.4

f = 0.6 - 0.4 = 0.2

3. 결과 해석 및 자본 배분

• 켈리 비율 (f): 0.2 또는 20%

결론: 이 게임에 한 번 베팅할 때마다 **현재 가진 자본의 20%**를 거는 것이 장기적으로 당신의 자산을 가장 빠르게 불릴 수 있는 최적의 비율입니다.

베팅 순서	자본	베팅 금액 (자본의 20%)	결과 (앞면 승리 가정)	최종 자본
1회차	100,000원	20,000원	+20,000원	120,000원
2회차	120,000원	24,000원	+24,000원	144,000원
3회차	144,000원	28,800원	+28,800원	172,800원

---

📊 일반 투자 시 켈리 공식의 활용 (다른 배당률)

만약 승리 시 2배를 따고, 패배 시 1배를 잃는 주식 투자의 기회가 있고, 성공 확률이 **40%**라고 가정해 봅시다.

f = (bp-q) / b

• p = 0.4 (성공 확률 40%)
• q = 0.6 (실패 확률 60%)
• b = 2 (성공 시 배당률 2배)

f = (2 x 0.4) - 0.6 / 2 = 0.8 - 0.6 / 2 = 0.2 / 2 = 0.1

• 켈리 비율 (f): 0.1 또는 10%

이 경우, 승률은 낮지만 보상이 커서 **총자본의 10%**를 투자하는 것이 가장 효율적이라는 결론이 나옵니다.

⚠️ 주의: 만약 계산 결과 f가 음수라면 ($ < 0), 그 베팅이나 투자는 기대 수익이 없거나 마이너스이므로, 베팅하지 않아야 한다는 뜻이 됩니다.

켈리 공식은 자본 배분 전략의 기본 틀을 제공하지만, 실제 투자에서는 예측의 불확실성 때문에 보통 계산된 f보다 작은 비율(1/2 또는 1/3)을 투자하는 **'부분 켈리'**를 사용합니다.

[표준 표기]

켈리 공식에서 성공 확률을 p, 실패 확률을 q등으로 사용하는 것은 확률 이론 및 통계학의 표준 표기법을 따르는 것입니다.

주요 요소들이 왜 그렇게 표기되는지 설명해 드릴게요.

---

📈 켈리 공식 변수 표기 설명

변수	의미	표기 이유
f	배팅 비율 (Fraction)	'Fraction'의 첫 글자를 따서, 전체 자산 중 베팅할 비율을 나타냅니다. 켈리 공식의 핵심 결과값입니다.
p	성공 확률 (Probability of Success)	'Probability'의 첫 글자를 따서, 사건이 성공할 확률을 나타내는 통계학의 표준 표기입니다.
q	실패 확률 (Probability of Failure)	q는 통계학에서 p와 상호 보완적인 확률을 나타내는 데 사용되며, 특히 q = 1 - p 관계가 성립할 때 자주 쓰입니다. 즉, p의 보완 확률입니다.
b	성공 시 배당률 (Gain Multiplier/Benefit)	베팅에 성공했을 때 순수하게 얻는 이득의 비율을 나타냅니다. 'Benefit' 또는 'Gain'의 의미를 담고 있으며, 배팅 금액에 곱해지는 배수를 의미합니다.
a	실패 시 손실률 (Loss Multiplier)	일부 문헌에서 사용되며, 베팅에 실패했을 때 잃는 손실의 비율을 나타냅니다.

---

🔢 확률 표기의 일반 원칙

• p와 q: 이항 분포(성공 또는 실패, 두 가지 결과만 있는 경우)와 같은 기본적인 확률 모델에서 **성공 확률을 p**로, 그에 대한 **보완 확률(1-p)을 q**로 쓰는 것은 확률론과 통계학 분야에서 오랜 기간 동안 확립된 관례입니다.
• f: 자본 관리 전략에서 베팅 규모를 자산의 **일부(Fraction)**로 표현할 때 자주 사용됩니다.

이러한 표준 표기법을 사용하면, 수학이나 통계에 익숙한 사람들이 공식을 더 쉽고 빠르게 이해하고 다른 이론과 연결하여 적용할 수 있습니다.

b는 **승리 시 얻는 순수익률(배당률)**을 나타내며, 이는 베팅 또는 투자에서 이겼을 때 베팅(투자) 원금 대비 추가로 얻는 수익의 비율을 의미합니다.

b를 구하는 방법은 상황(도박 게임 또는 금융 투자)에 따라 다릅니다.

---

🎲 도박(블랙잭, 포커 등)에서 b 구하기

대부분의 단순한 도박 게임에서는 승리 시 베팅한 금액만큼을 받습니다.

b = 순수익 / 베팅금액

• 예시 (일반적인 승률 50%의 동전 던지기):
  • 10,000원을 베팅하여 이기면, 베팅금 10,000원에 순수익 10,000원을 추가로 받습니다.
  • 이 경우, 순수익은 베팅 금액의 1배이므로, b=1입니다.
• 예시 (특정 스포츠 배팅):
  • 배당률이 2.5배인 팀에 10,000원을 베팅합니다.
  • 승리 시 총 25,000원(원금 10,000원 + 순수익 15,000원)을 받습니다.
  • 순수익은 15,000원이며, 베팅 금액 10,000원 대비 순수익 비율은 15,000 / 10,000 = 1.5입니다.
  • 따라서 b = 1.5입니다.

---

📈 금융 투자(주식, 파생상품)에서 $b$ 구하기

금융 투자에서는 b를 잠재적 수익률로 계산합니다. 이때 b는 수익률 목표 또는 예상되는 수익을 바탕으로 결정됩니다.

b = 예상 수익 목표 / 최대 손실 한도(손절매 라인)

1. 목표 수익률로 설정하는 경우

특정 거래에서 달성하고자 하는 수익률 목표를 b로 설정할 수 있습니다.

• 예시: 당신이 한 주식에 투자하며 목표 수익률을 **15%**로 잡았다면, $\mathbf{b = 0.15}$입니다. (순수익은 투자 원금의 0.15배)

2. 리스크-리워드 비율(Reward-to-Risk Ratio)로 설정하는 경우

켈리 공식은 위험을 관리하는 데 유용하므로, b를 **예상되는 수익(Reward)**과 **예상되는 최대 손실(Risk)**의 비율로 정의하는 것이 더 실용적입니다.

b = 예상 수익 목표 / 최대 손실 한도(손절매 라인)

• 예시 (주식 트레이딩):
  • 매수 가격 대비 **+20%**에서 익절(수익 실현) 목표를 설정했습니다. (수익 목표 = 0.20)
  • 매수 가격 대비 **-5%**에서 손절(손실 제한) 라인을 설정했습니다. (최대 손실 한도 = 0.05)
  • 이 경우 $\mathbf{b} = 0.20 / 0.05 = \mathbf{4}$입니다.
  • 이는 당신이 1을 잃을 위험을 감수하고 4를 벌 수 있다고 기대한다는 뜻입니다. 켈리 공식에 대입되는 b는 이 리스크-리워드 비율을 의미하는 경우가 많습니다.

핵심: 금융 투자에서 b를 정의할 때는 성공 시 얻는 이득이, 실패 시 잃는 손실 대비 몇 배인지를 나타내는 리스크-리워드 비율로 해석하는 것이 켈리 공식을 적용하는 가장 일반적이고 실용적인 방법입니다.